Кратные корни многочлена. Определение корня многочлена 14 определение корня многочлена

Цели урока:

• научить учащихся решать уравнения высших степеней используя схему Горнера;
• воспитывать умение работать в парах;
• создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
• помочь ученику оценить свой потенциал, развивать интерес к математике, умение мыслить, высказываться по теме.

Оборудование: карточки для работы в группах, плакат со схемой Горнера.

Метод обучения: лекция, рассказ, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач самостоятельного решения, самостоятельная работа.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

Какая теорема позволяет определить, является ли число корнем данного уравнения (сформулировать теорему)?

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-с равен Р(с), число с называют корнем многочлена Р(х), если Р(с)=0. Теорема позволяет, не выполняя операцию деления, определить, является ли данное число корнем многочлена.

Какие утверждения облегчают поиск корней?

а) Если старший коэффициент многочлена равен единице, то корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена.

б) Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то один из корней равен 1.

в)Если сумма коэффициентов стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то один из корней равен -1.

г) Если все коэффициенты положительны, то корнями многочлена являются отрицательные числа.

д) Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Изучение нового материала

При решении целых алгебраических уравнений приходиться находить значения корней многочленов. Эту операцию можно существенно упростить, если проводить вычисления по специальному алгоритму, называемому схемой Горнера. Эта схема названа в честь английского ученого Уильяма Джорджа Горнера. Схема Горнера это алгоритм для вычисления частного и остатка от деления многочлена Р(х) на х-с. Кратко, как он устроен.

Пусть дан произвольный многочлен Р(х)=а 0 х n + а 1 х n-1 + …+ а n-1 х+ а n . Деление этого многочлена на х-с – это представление его в виде Р(х)=(х-с)g(х) + r(х). Частное g(х)=в 0 х n-1 + в n х n-2 +…+в n-2 х + в n-1 , где в 0 =а 0 , в n =св n-1 +а n , n=1,2,3,…n-1. Остаток r(х)= св n-1 +а n . Этот метод вычисления и называется схемой Горнера. Слово « схема» в названии алгоритма связана с тем, что обычно его выполнение оформляют следующим образом. Сначала рисуют таблицу 2(n+2). В левой нижней клетке записывают число с, а в верхней строке коэффициенты многочлена Р(х). При этом левую верхнюю клетку оставляют пустой.

Число, которое после выполнения алгоритма оказывается записанным в правой нижней клетке, и есть остаток от деления многочлена Р(х) на х-с. Другие числа в 0 , в 1 , в 2 ,… нижней строки являются коэффициентами частного.

Например: Разделить многочлен Р(х)= х 3 -2х+3 на х-2.

Получаем, что х 3 -2х+3=(х-2) (х 2 +2х+2) + 7.

4. Закрепление изученного материала

Пример 1: Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен Р(х)=2х4-7х 3 -3х 2 +5х-1.

Ищем целые корни среди делителей свободного члена -1: 1; -1. Составим таблицу:

X = -1 – корень

Р(х)= (х+1) (2х 3 -9х 2 +6х -1)

Проверим 1/2.

Следовательно, многочлен Р(х) можно представить в виде

Р(х)= (х+1) (х-1/2) (х 2 -8х +2) = (х+1) (2х -1) (х 2 - 4х +1)

Пример 2: Решить уравнение 2х 4 - 5х 3 + 5х 2 - 2 = 0

Так как сумма коэффициентов многочлена, записанного в левой части уравнения, равна нулю, то один из корней 1. Воспользуемся схемой Горнера:

Получаем Р(х)=(х-1) (2х 3 -3х 2 =2х +2). Будем искать корни среди делителей свободного члена 2.

Выяснили, что целых корней больше нет. Проверим 1/2; -1/2.

Ответ: 1; -1/2.

Пример 3: Решить уравнение 5х 4 – 3х 3 – 4х 2 -3х+ 5 = 0.

Корни данного уравнения будем искать среди делителей свободного члена 5: 1;-1;5;-5. х=1 - корень уравнения, так как сумма коэффициентов равна нулю. Воспользуемся схемой Горнера:

уравнение представим в виде произведения трех множителей: (х-1) (х-1) (5х 2 -7х + 5)=0. Решая квадратное уравнение 5х 2 -7х+5=0, получили Д=49-100=-51, корней нет.

Карточка 1

1. Разложите на множители многочлен: х 4 +3х 3 -5х 2 -6х-8
2. Решите уравнение: 27х 3 -15х 2 +5х-1=0

Карточка 2

1. Разложите на множители многочлен: х 4 -х 3 -7х 2 +13х-6
2. Решите уравнение: х 4 +2х 3 -13х 2 -38х-24=0

Карточка 3

1. Разложите на множители: 2х 3 -21х 2 +37х+24
2. Решите уравнение: х 3 -2х 2 +4х-8=0

Карточка 4

1. Разложите на множители: 5х 3 -46х 2 +79х-14
2. Решите уравнение: х 4 +5х 3 +5х 2 -5х-6=0

5. Подведение итогов

Проверка знаний при решении в парах осуществляется на уроке путем узнавания способа действия и названия ответа.

Домашнее задание:

Решите уравнения:

а) х 4 -3х 3 +4х 2 -3х+1=0

б) 5х 4 -36х 3 +62х 2 -36х+5=0

в) х 4 +х 3 +х+1=4х 2

г) х 4 +2х 3 -х-2=0

Литература

1. Н.Я. Виленкин и др., Алгебра и начала анализа 10 класс (углубленное изучение математики): Просвещение, 2005.
2. У.И. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение уравнений высших степеней: Волгоград, 2007.
3. С.Б. Гашков, Системы счисления и их применение.

Если число с является корнем многочлена f (x), этот многочлен, как известно, делится на х-с. Может случиться, что f (x) делится и на какую-то степень многочлена х-с, т.е. на (х-с) k, k>1. В этом случае с называют кратным корнем. Сформулируем определение более четко.

Число с называется корнем кратности k (k-кратным корнем) многочлена f (x), если многочлен делится на (х-с) k, k>1 (k - натуральное число), но не делится на (х-с) k+1. Если k=1, то с называют простым корнем, а если k>1, - кратным корнем многочлена f (x).

В дальнейшем при определении кратности корней нам будет полезно следующее предложение.

Если многочлен f (x) представим в виде f (x) = (x-c) mg (x), m - натуральное число, то он делится на (х-с) m+1 тогда и только тогда, когда g (x) делится на х-с. В самом деле, если g (x) делится на х-с, т.е. g (x) = (x-c) s (x), то f (x) = (x-c) m+1s (x), а значит, f (x) делится на (х-с) m+1.

Обратно, если f (x) делится на (х-с) m+1, то f (x) = (x-c) m+1s (x). Тогда (x-c) mg (x) = (x-c) m+1s (x) и после сокращения на (х-с) m получим g (x) = (x-c) s (x). Отсюда следует, что g (x) делится на х-с.

А сейчас вернемся к понятию кратности корня. Выясним, например, является ли число 2 корнем многочлена f (x) =x5-5x4+3x3+22x2-44x+24, и если да, найдем его кратность. Чтобы ответить на первый вопрос, проверим с помощью схемы Горнера, делится ли f (x) на х-2. имеем:

Таблица 4

Получили, что g (x) делится на х-2 и g (x) = (x-2) (x3-x2-5x+6). Тогда f (x) = (x-2) 2 (x3-x2-5x+6).

Итак, f (x) делится на (х-2) 2, теперь нужно выяснить, делится ли f (x) на (x-2) 3.

Для этого проверим, делится ли h (x) =x3-x2-5x+6 на х-2:

Таблица 6

Находим, что остаток при делении s (x) на х-2 равен 3, т.е. s (x) не делится на х-2. Значит, f (x) не делится на (х-2) 4.

Таким образом, f (x) делится на (х-2) 3, но не делится на (х-2) 4. Следовательно, число 2 является корнем кратности 3 многочлена f (x).

Обычно проверку корня на кратность выполняют в одной таблице. Для данного примера эта таблица имеет следующий вид:

Таблица 8

Другими словами, по схеме Горнера деление многочлена f (x) на х-2, во второй строке мы получим коэффициенты многочлена g (x). Затем эту вторую строку считаем первой строкой новой системы Горнера и выполняем деление g (x) на х-2 и т.д. продолжаем вычисления до тех нор, пока не получим остаток, отличный от нуля. В этом случае кратность корня равна числу полученных нулевых остатков. В строке, содержащей последний ненулевой остаток, находится и коэффициенты частного при делении f (x) на (x-2) 3. Теперь, используя только что предложенную схему проверки корня на кратность, решим следующую задачу. При каких a и b многочлен f (x) =x4+2x3+ax2+ (a+b) x+2 имеет число - 2 корнем кратности 2?

Так как кратность корня - 2 должна быть равна 2, то, выполняя деление на х+2 по предложенной схеме, мы должны два раза получить остаток 0, а в третий раз - остаток, отличный от нуля. Имеем:

Таблица 9

Таким образом, число - 2 является корнем кратности 2 исходного многочлена тогда и только тогда, когда

Отсюда получаем: a=-7/2, b=-5/2.

РЕФЕРАТ

Корни многочлена. Теорема Безу

Выполнили:

Студенты 1 курса группы ИМ-11

Очного отделения

Шабунин Дмитрий Олегович

Зорин Александр Сергеевич

Проверила:

Бобылева Оксана Владимировна

подпись___________________

Введение……………………………………………………………………………...3

1.Многочлены………………………………………………………………………..3

1.1.Определение многочлена………………………………………………………3

1.2.Определение корня многочлена……………………………………………….4

1.3.Схема Горнера………………………………………………………………….5

1.4.Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корней……………………….7

2. Этьен Безу. Биография. Теорема Безу. Следствия из теоремы……………….13

2.1. Этьен Безу. Биогафия………………………………………………………...13

2.2. Теорема Безу………………………………………………………………….13

2.3 Следствия из теоремы Безу…………………………………………………..14

2.4. Примеры использования теоремы…………………………………………..14

Заключение………………………………………………………………………….16

Список используемых источников………………………………………………..17

ВВЕДЕНИЕ

Тема данного реферата: «Корни многочлена. Теорема Безу».

В нем мы хотим рассмотреть, что такое многочлен, что является корнем многочлена, а также рассказать про схему Горнера и теорему Безу.

В первой части мы разберем понятие многочлена, его корней и их виды и про схему Горнера. Во второй про теорему Безу.

Данная тема довольно актуальна, поскольку теорема Безу является одной из базовых теорем алгебры.

Многочлены

Понятие многочлена

Многочлен (полином) от одной переменной x – это выражение вида

где x – переменная, – коэффициенты из некоторого числового поля, n – целое неотрицательное число, а нулевое- свободный член. Отдельные слагаемые вида ……, k=0,1, …,n называются членами многочлена.

Также многочлен называют «полиномом», этот термин происходит от греческих слов «πολι» - много и «νομχ» - член.

2 члена называются подобными , если их степени равны. При этом подобные между собой члены можно преобразовать в один, т.е. привести подобные члены.

Степенью многочлена называют наибольшую среди степеней многочлена, при этом многочлен f(x)- не тождественный нуль. Обозначается эта степень deg(f).

Например:

Многочлен четвертой степени (старшая степень равна четырем);

- многочлен второй степени или квадратный (старшая степень равна двум).

При этом тождественный нуль степени не имеет.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат определенному полю (полю действительных, рациональных, комплексных чисел). Так, если выполнять над многочленом операции сложения, умножения или вычитания при помощи сочетательного, переместительного и распределительных законов, мы получаем снова многочлен.

Из вышесказанного следует, что совокупность всех многочленов с коэффициентами из данного поля Р образует кольцо Р - кольцо многочленов над данным полем, это кольцо не имеет делителей нуля, т.е. произведение многочленов, не равных нулю, не может дать нуль.

Определение корня многочлена

Элемент кольца Р называется корнем многочлена f(x) ∈ Р , если f( )= 0. Другими словами, число является корнем многочлена f(x), если в выражение

мы подставим , тогда получим

Таким образом, при подстановке вместо число получается верное выражение. Это означает, что число является корнем равенства f(x)=0.

Поэтому корень многочлена f(x) и корень соответствующего уравнения f(x)=0 по сути одно и то же.

К примеру, найдём корень многочлена f(x)=3 -10+3

Данное выражение является квадратным поэтому для нахождения корня многочлена нам необходимо решить следующее уравнение

3 -10х+3=0.

Для этого необходимо рассмотреть алгоритм решения квадратных уравнений.

Определения и утверждения к 2.2 можно найти в .

Корнем многочлена называется числотакое что
.

Теорема Безу. Для любой функции
и числа
верно равенство:

где
.

Следствие. Числоявляется корнем тогда и только тогда, когда
делится на
без остатка.

Удобной для деления на многочлены вида (
) является схема Горнера. Рисуем таблицу, в первой строке которой записываем все коэффициенты
(включая нулевые).

‑ коэффициенты неполного частного от деления
на (
);‑ остаток от деления, который по теореме Безу равен
. Если= 0, то говорят, что
делится на (
) нацело и‑ корень многочлена
.

Пример 33 Разделитьна
.

Решение. Воспользуемся схемой Горнера. Нарисуем таблицу и выполним расчеты.

Итак, , где‑ коэффициенты неполного частного. Следовательно,.

Пример 34 Найти значение функции
в точке

x = ‑2.

Решение. С помощью схемы Горнера разделим
на многочлен
. При заполнении таблицы учитываем, что коэффициенты при четвертой и второй степенях, а также свободный член в многочлене равны 0.

В результате вычислений получили остаток, равный ‑8. По теореме Безу он равен значению
в точкеx = ‑2.

Ответ: {–8}.

Алгоритм деления, рассмотренный в 2.1, применим для деления на многочлен любой степени, а схема Горнера применима только для деления на (
).

1. Неприводимые многочлены

Определения и утверждения к 2.3 можно найти в . Многочлен с действительными коэффициентами
является неприводимым, если не существует многочленов
и
с действительными коэффициентами степени меньшей
, таких, что
. Т. е. неприводимый многочлен нельзя разложить в произведение многочленов меньших степеней.

Утверждение. Неприводимыми многочленами с действительными коэффициентами являются многочлены 1-й или 2-й степени с отрицательным дискриминантом, и только они.

Разложением многочлена на множители называется представление его в виде произведения неприводимых многочленов.

Основные методы разложения многочленов на множители:

1. Вынесение общего множителя за скобки.

2. Использование формул сокращенного умножения.

Пример 35
.

=. При разложении воспользовались формулой.

3. Метод группировки.

Пример 36 Разложить на множители многочлен
.

Группируем вместе слагаемые, содержащие множитель 5:

=
=
=

= [вынесем общий множитель за скобки] =

Пример 37 Разложить на множители многочлен
.

Группируем слагаемые, начиная с первого:

Квадратный трехчлен раскладываем на множители, найдя его корни:

. В итоге

4. Метод подбора корней.

Этот метод основан на следующих утверждениях:

Утверждение 1. Если для многочлена

числа
‑ корни, то верно равенство.

Утверждение 2. У многочлена со старшим коэффициентом, равным 1, целыми корнями могут быть только делители свободного члена.

Пример 38 Возможными целыми корнями многочлена
могут быть числа
. Методом подбора можно установить, что
и, следовательно, 1 ‑ корень многочлена.

Пример 39 Разложить на множители многочлен.

Решение. Согласно утверждению 2 возможными целыми корнями многочлена могут быть только делители числа ‑5. Это числа
. Найдем значение многочлена в точкеx = ‑ 1:

Следовательно, корнем многочлена
являетсяx = ‑1. Разделим многочлен
на (x + 1). По теореме Безу,
должен делиться на (x + 1) нацело, то есть, остаток от деления должен равняться нулю. Для деления воспользуемся схемой Горнера.

Число, получившееся в последнем столбце, позволяет проверить правильность вычислений. Если получен нуль, значит, все вычисления верны. Если число в последнем столбце отлично от нуля, значит, или корень найден неверно, или вычисления по схеме Горнера проведены неправильно.

Итак: . Поскольку получившийся в результате деления многочлен
не является неприводимым, то процесс разложения на множители необходимо продолжить. Для многочлена
возможными корнями будут числа
. Находим:. Следовательно, 1 ‑ корень многочлена
. Разделим его на (x ‑ 1) по схеме Горнера.

В последнем столбце получился нуль. Значит, вычисления верны.

Имеем: . Проверим, является ли многочлен
неприводимым. Найдем его корни по стандартной формуле:

. Так как дискриминант данного квадратного трехчлена отрицателен, он является неприводимым на множестве действительных чисел.

Свойства

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро , Никколо Тарталья и Джероламо Кардано . Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени .

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году . Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции - эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера , причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы , например, метод секущих , метод бисекции , метод Ньютона . Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма .

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Канализация
• Словарь терминов вексиллологии

Смотреть что такое "Корень многочлена" в других словарях:

Корень алгебраического уравнения

Корень уравнения - Корень многочлена над полем k элемент, который после подстановки его вместо x обращает уравнение в тождество. Свойства Если c является корнем многочлена p(x … Википедия

Корень Бринга - Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения. В алгебре корень Бринга или ультрарадикал это аналитическая функция, такая что для… … Википедия

Корень (значения) - Корень: В Викисловаре есть статья «корень» Корень (в ботанике) вегетативный осевой подземный орган растения, обладающий сп … Википедия

Корень (в математике) - Корень в математике, 1) К. степени n из числа а ≈ число х (обозначаемое), n я степень которого равна а (то есть xn = а). Действие нахождения К. называют извлечением корня. При а ¹ 0 существует n различных значений К. (вообще говоря,… …

Корень - I Корень (radix) один из основных вегетативных органов листостебельных растений (за исключением мхов), служащий для прикрепления к субстрату, поглощения из него воды и питательных веществ, первичного превращения ряда поглощаемых веществ,… … Большая советская энциклопедия

КОРЕНЬ - 1) К. степени n из числа a число n я степень х п к рого равна а. 2) К. алгебраического уравнения над полем К элемент к рый после подстановки его вместо хобращает уравнение в тождество. К. этого уравнения наз. также и К. многочлена Если сявляется… … Математическая энциклопедия

Кратный корень - многочлена f (x) = a0xn + a1xn 1 +... + an, число с такое, что f (x) делится без остатка на вторую или более высокую степень двучлена (х с). При этом с называют корнем кратности, если f (x) делится на (х с) k, но не… … Большая советская энциклопедия

Сопряжённый корень - Если задан некоторый неприводимый многочлен над кольцом и выбран некоторый его корень в расширении, то сопряженным корнем для данного корня многочлена называется любой корень многочлена … Википедия

Квадратный корень из 2 - равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1. Квадратный корень из числа 2 положительное … Википедия