Объёмы и поверхности тел вращения
Учитель математики МОУ СОШ №8
х. Шунтук Майкопскского района Республики Адыгея
Грюнер Наталья Андреевна
900igr.net
1.Виды тел вращения 2.Определения тел вращения: а)цилиндр
3.Сечения тел вращения:
а)цилиндр
4.Объёмы тел вращения 5.Площади поверхностей тел вращения
Завершить работу
ВИДЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Цилиндр-тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси
Конус-тело, которое получено при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси
Шар-тело полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИЛИНДРА
Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.
Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки,соединяющие соответствующие точки окружностей кругов,образующими цилиндра.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНУСА
Конусом называется тело,которое состоит из круга-основания конуса,точки, не лежащей в плоскости этого круга,вершины конуса и всех отрезков,соединяющих вершину конуса с точками основания.
СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА
Сечение цилиндра плоскостью,параллельной его оси,представляет прямоугольник.
Осевое сечение-сечение цилиндра плоскостью,проходящей через его ось
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, представляет собой круг.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШАРА
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии,не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.
СЕЧЕНИЕ КОНУСА
Сечение конуса плоскостью,проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник.
Осевое сечение конуса-это сечение, проходящее через его ось.
Сечение конуса плоскостью, параллельной его основаниям, представляет собой круг с центром на оси конуса.
СЕЧЕНИЯ ШАРА
Сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого шара есть основание перпендикуляра,опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом.
ОБЪЁМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Шаровой сегмент
Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Объём шара Теорема. Объём шара радиуса R равен.
V=2/3 *П* R 2 *Н
Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.
ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.
Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на длину образующей.
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле S=4* П *R*R
Объём шара Теорема. Объём шара радиуса R равен .
Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис.). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х - абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:
Так как , то (2.6.2)
Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при
, получим
Теорема доказана.
Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.
- Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента.
- Объема сегмента
Шаровой сектор. Объём шарового сектора.
- Шаровой сектор, тело, которое получается из шарового сегмента и конуса.
- Объём сектора
- V=2/3 П R 2 H
Задача № 1.
- Цистерна имеет форму цилиндра,к основаниям которой присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м3?
Шаровые сегменты.
ответ:~6,78.
Задача № 2.
- О- центр шара.
- О 1 -центр круга сечения шара. Найти объём и площадь поверхности шара.
Дано: шар сечение с центром О 1 . R сеч. =6см. Угол ОАВ=30 0 . V шара =? S сферы = ?
- Решение :
V=4/3 П R 2 S=4 П R 2
В ∆ ОО 1 А : угол О 1 =90 0 ,О 1 А=6,
угол ОАВ=30 0 . tg 30 0 =ОО 1 / О 1 А ОО 1 =О 1 А* tg30 0 .ОО 1 =6*√3 ÷ 3 =2 √3
ОА= R=OO 1 ( по св-ву катета леж.против угла 30 0 ).
ОА=2√3 ÷2 =√3
V=4 П(√3) 2 ÷ 3=(4*3,14*3) ÷ 3=12,56
S= 4П(√3) 2 =4*3,14*3=37,68
Ответ :V=12 ,56; S=37 ,68.
Задача № 3
Полуцилиндрический свод подвала имеет 6м. длины и 5,8м. в диаметре.Найдите полную поверхность подвала.
Дано: Цилиндр.АВСД-осевое сечение. АД=6м. D= 5,8м. S п.под.= ?
- Решение:
- S п.под. =(S п ÷ 2)+ S АВСД
- S п ÷ 2= (2П Rh+2 П R 2)÷2=2(П Rh+ П R 2)÷2= П Rh+ П R 2
- R=d÷2=5 ,8 ÷ 2=2,9 м.
- S п ÷ 2=3,14*2,9+3,14*(2,9) 2 =
54,636+26,4074=81,0434
АВСД-прямоуг.(по опр.осев.сеч.)
S АВСД= АВ*АД=5,8*6=34,8м 2
S п.под. =34,8+81,0434≈116м 2 .
Ответ:S п.под. ≈116м 2 .
«Цилиндр геометрия 11 класс» - 3.Ось цилиндра. 2. 3.Получение цилиндра. 4. Радиус основания. Геометрия 11 класс. 2.Понятие цилиндрической поверхности. 1.Разработка урока 2.Материалы к уроку. 4. Сечение плоскостью, перпендикулярной к оси. Теоретический материал Задачи. Геометрия 11 класс Тема: Цилиндр. 1.Примеры цилиндров. 1.
«Урок Объём цилиндра» - Цилиндрическая поверхность. Устные упражнения по теме. B. Осевое сечение - ……………. Н. D1. Любые осевые сечения цилиндра ….. между собой. План урока. A1. D. A. Прямой цилиндр.
«Поверхность цилиндра» - Film by: A. Shevchenko R. Trushenkov. «Понятие цилиндра». L1. Образующие. Осевое сечение. L. Algebra & Geometria Entertainment. Ось цилиндра. Основания цилиндра.
«Цилиндр конус шар» - Определение цилиндра. Виды тел вращения. Объёмы тел вращения. Объёмы и поверхности тел вращения. Определение шара. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом. Объём шарового сегмента. Объём шарового сектора. Оглавление. Определение конуса. Сечения цилиндра. Сечения шара. Дано: Доказательство.
«Объём цилиндра» - Цилиндры из жизни. Объём цилиндра Объём конуса. Цилиндры-башни. Объём конуса. Цилиндр: история. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Объём цилиндра. Конусы огромного размера. Объём усечённого конуса. Конус: история. Ведро – пример усечённого конуса. Водовзводная башня (Москва) Собственный дом архитектора К.Мельникова (Москва) Замок Сфорца (Милан).
Тела вращения Телом вращения называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Телом вращения называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Ось вращения
Шар: история Оба слова "шар" и "сфера" происходят от одного и того же греческого слова "сфайра" - мяч. При этом слово "шар" образовалось от перехода согласных сф в ш. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Оба слова "шар" и "сфера" происходят от одного и того же греческого слова "сфайра" - мяч. При этом слово "шар" образовалось от перехода согласных сф в ш. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.
Гигантский шар в игрушечном городе Это - космический корабль "Земля", рсположенный на окраине ДИСНЕЙЛЕНДА в штате Флорида. По задумке эта сферическая конструкция должна оли- цетворять будущее человечества. Это - космический корабль "Земля", рсположенный на окраине ДИСНЕЙЛЕНДА в штате Флорида. По задумке эта сферическая конструкция должна оли- цетворять будущее человечества.
Шаровой сектор Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется. Если сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №4»
Подготовила:
учитель математики
Федина Любовь Ивановна.
г. Исилькуль 2014г
Тема урока " Объемы многогранников и тел вращения"
Цели:
Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме урока;
Закрепить вычислительные и начертательные навыки учащихся;
Развить мышление, логические способности, умение работать с геометрическим материалом, читать чертежи, работать по ним;
Воспитать чувство ответственности, сплоченности, сознательной дисциплины, умения работать в группе;
Привить интерес к изучаемому предмету.
Тип урока: урок-обобщение
Технология: личностно-ориентированная, проблемно-исследовательская, критического мышления.
Форма проведения:
Оборудование:
линейка, ручка, карандаш, листочки с заданиями,
фигуры конусов, цилиндров, призм и пирамид,
чертежи геометрических тел на листах формата А4 + скотч,
раздаточный материал
План урока.
Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
а) Верно или неверно;
б)Кластер по теме « Объемы тел»;
г) Вычисление объемов моделей многогранников.
Решение стереометрических задач.
Итог урока.
Домашнее задание.
Ход урока.
Не бойся, что не знаешь
-бойся, что не научишься.
Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
- Здравствуйте, тема нашего урока « Объемы многогранников и тел вращения».
Подумайте и постарайтесь сформулировать цель урока: (учащиеся высказывают предполагаемые формулировки цели урока, в конце кто- то один делает общий вывод).
Актуализация знаний учащихся.
а)- Перед вами вопросы презентации «Верно или неверно?» , ответьте на них с помощью знаков «+» и «-» .
Презентация (Слайд с1-4)
1. Объем любого многогранника можно вычислить по формуле: V =S осн H .
2. Неверно, что S шара = 4πR 2 .
3. Верно ли, что если объем куба равен 64 см 3 , то сторона равна 8 см.
4. Верно ли, что если сторона куба равна 5 см, то объем равен 125 см 3 .
5. Верно ли, что объем конуса и пирамиды можно вычислить по формуле:
V = S осн H .
6.Неверно, что высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
7. Верно ли, что все грани правильной пирамиды равносторонние треугольники?
8.Верно ли, что если в прямоугольный параллелепипед вписан шар, то параллелепипед-куб.
9.Верно ли, что образующая цилиндра больше его высоты?
10.Может ли осевое сечение цилиндра быть трапецией?
11.Верно ли, что объём цилиндра меньше объёма любой описанной около него призмы?
12.Верно ли, что если осевые сечения двух цилиндров – равные прямоугольники, то объёмы цилиндров тоже равны?
13.Неверно, что осевое сечение цилиндра – квадрат.
14. Верно ли, что многогранник называют правильным, если в основании лежит правильный многоугольник .
15.Верно ли, что если в цилиндр вписан конус, V конуса= V цилиндра
Проверьте ваши ответы и напишите, какие вопросы у вас вызвали затруднения.
б) Заполните кластер по теме « Объемы тел».
Геометрические тела
Многогранники
Тела вращения
призма
пирамида
конус
цилиндр
шар
V = S осн H .
V= π R 3
V =S осн H .
в) Решение задач из презентации по теме «Объёмы»;
-А теперь переходим к следующему этапу урока:
- Устное решение задач по готовым чертежам.
Презентация (слайды 5 - 9)
Слайд 5:
1. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите объем треугольной пирамиды АВСДА 1 В 1 .(ответ. 3)
Слайд 6:
2.Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 10. (ответ.30)
Слайд 7:
3. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота
которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда. (ответ.4)
Слайд 8:
4.Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V / π . (ответ.25)
Слайд 9:
5.Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V / π . (ответ.300)
г) Вычисление объемов моделей многогранников.
Перед вами на столах модели фигур.
Ваша задача:
Произведите необходимые измерения и вычислите объемы данных фигур.
Проверьте полученные результаты (ответы могут быть приблизительно равны).
3. Решение стереометрических задач.
Перед вами на столах лежат конверты с задачами, разной степени сложности. Оцените свои знания и выберите по две задачи из конверта и решите их самостоятельно.
У доски работают ученики, занимающиеся на «4» и «5».
(Чертежи фигур даны на половине ватмана. Учащиеся берут чертеж, на нем достраивают недостающие условия и решают задачу) )
5. Образующая и радиусы большего и меньшего основания усечённого конуса равны соответственно 13 см, 11 см, 6 см. Вычислите объём этого конуса. (ответ: V = 892 см 3)
6.Найдите объём правильной пирамиды, если боковое ребро равно 3см, а сторона основания – 4см. (ответ. Ответ: см 3)
7.Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а её высота равна 21 дм. Найдите объём пирамиды. (Ответ : V =2800 дм 3)
8. Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра. (Ответ : см 3)
9. Диагональ осевого сечения цилиндра 10 см, высота 8 см. Найдите объём цилиндра. (ответ.72π см 3)
10. Образующая и радиусы большего и меньшего основания усечённого конуса равны соответственно 13 см, 11 см, 6 см. Вычислите объём этого конуса. (ответ.892 см 3)
«5»
5.В цилиндр вписана правильная четырехугольная призма. Найдите отношение объемов призмы и цилиндра. (ответ. 2/π).
6.Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза? (ответ.3)
4.Итог урока.
А теперь настало время подвести итоги урока и записать домашнее задание.
Итак, на листочках ответьте на вопросы:
Я сегодня понял(а)_______________ .
Я сегодня узнал (а)______________.
Я хотел(а) бы спросить___________ .
Домашнее задание. Выберите из конверта.
Тетради сдать.