МЕХАНИКА
УДК 531.01/534.112
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПАКЕТА СТЕРЖНЕЙ
А.М. Павлов, А.Н. Темнов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: [email protected]; [email protected]
В вопросах динамики жидкостных ракет важную роль играет проблема устойчивости движения ракеты при возникновении продольных упругих колебаний. Появление таких колебаний может привести к установлению автоколебаний, которые в случае неустойчивости ракеты в продольном направлении могут привести к ее быстрому разрушению. Сформулирована задача о продольных колебаниях ракеты пакетной схемы, в качестве расчетной модели использован пакет стержней. Принято, что жидкость в баках ракеты "заморожена", т.е. собственные движения жидкости не учтены. Сформулирован закон баланса полной энергии для рассматриваемой задачи и приведена ее операторная постановка. Приведен численный пример, для которого определены частоты, построены и проанализированы формы собственных колебаний.
Ключевые слова: продольные колебания, частота и форма колебаний, пакет стержней, закон баланса полной энергии, самосопряженный оператор, спектр колебаний, POGO.
SYSTEM OF RODS LONGITUDINAL VIBRATIONS А.М. Pavlov, АЛ. Temnov
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: [email protected]; [email protected]
In questions of dynamics of liquid fuel rockets the problem of motion stability for this rocket has an important role with the appearance of longitudinal elastic vibrations. An occurrence of such kind vibrations can evoke self-vibrations which may cause rapid destruction of the rocket in case of rocket instability within longitudinal direction. The problem on longitudinal vibrations of the liquid fuel rocket based on the packet scheme has been formulated using package rods as computational model. It is assumed that the liquid in the rocket tanks is "frozen", i.e. proper motions of the liquid are not included. For this problem energy conservation principle was formulated and its operator staging is given. There is a numerical example, for which the frequencies have been determined, forms of Eigen vibration were built and analyzed.
Keywords: longitudinal vibrations, eigen modes and frequencies, rods model, energy conservation principle, selfadjoint operator, vibration spectrum, POGO.
Введение. В настоящее время в России и за рубежом для вывода на требуемую орбиту полезного груза часто используют ракеты-носители (РН) пакетной компоновки с одинаковыми боковыми блоками, равномерно распределенными вокруг центрального блока.
Исследования колебаний пакетных конструкций наталкиваются на определенные трудности, связанные с динамическим воздействием боковых и центрального блоков . В случае симметрии компоновки РН сложное, пространственное взаимодействие блоков пакетной конструкции можно разделить на конечное число типов колебаний, одним из которых являются продольные колебания центрального и боковых блоков . Математическая модель продольных колебаний подобной конструкции в виде пакета тонкостенных стержней подробно рассмотрена в работе . Рис. 1. Схема централь- В настоящей статье приведены теоретиче-ного стержня ские и вычислительные результаты продоль-
ных колебаний пакета стержней, дополняющие исследование, выполненное А.А. Пожалостиным .
Постановка задачи. Рассмотрим другие продольные колебания пакета стержней, состоящего из центрального стержня длиной l0 и N боковых стержней одинаковой длины j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, скрепленных в точке А (xA = l) (рис. 1) с центральными пружинными элементами жесткостью k.
Введем неподвижную систему отсчета ОХ и предположим, что жесткость стержней EFj (x), распределенная масса mj (x) и возмущение q (x,t) являются ограниченными функциями координаты x:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Пусть при продольных колебаниях в сечениях стержней с координатой x возникают смещения Uj (x, t), определяемые по уравнениям mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) граничными условиями отсутствия нормальных сил на концах стержней 3 =0, х = 0, ^ = 1, 2, 0, x = 0, x = l0; условиями равенства нормальных сил, возникающих в стержнях, EF-3 = F x = l силам упругости пружинных элементов FпPJ = к (щ (ха) - щ (¡,)); (4) ЕУодХ (ха - 0) - EFодХ (ха + 0) = , х = ха; условием равенства перемещений в точке ха центрального стержня Щ (ха-о) = Щ (ха+о) и начальными условиями Щ у (х, 0) - Щ (х) ; , _ щ (х, 0) = Щ (х), где щ (х, 0) = "д^1 (х, 0). Закон баланса полной энергии. Умножим уравнение (2) на щ (х,£), проинтегрируем по длине каждого стержня и сложим результаты, используя граничные условия (3) и условие согласования (4). В результате получим ({ 1 ^ [ (диЛ 2 тз (х) "БТ" (х+ dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ ч 2 .. N „ i. 1 ^ Г „„ , f дп3\ , 1 ^ Гj 1 N /* i дпЛ 2 1 N fl j EF3 dx +2^Уо Ы (x - -)(no - Uj)2 dx = / ^ (х, £) их у (х,£) (х, (6) где 8 (х - ¡у) - дельта-функция Дирака. В уравнении (6) первое слагаемое в фигурных скобках представляет собой кинетическую энергию Т (¿) системы, второе - потенциальную энергию Пр (£), обусловленную деформацией стержней, а третье - потенциальную энергию Пк (£) пружинных элементов, которая при наличии упругих деформаций стержней может быть записана в виде Пк (*) = 2 £ / Су (¡у) 8 (х - ¡1) Е^ (¡у) (ддит (¡1)) 2 (х, Су = Еу. Уравнение (6) показывает, что изменение полной энергии в единицу времени рассматриваемой механической системы равно мощности внешнего воздействия. При отсутствии внешнего возмущения q (x,t) получаем закон сохранения полной энергии: T (t) + Пр (t) + Пк (t) = T (0) + Пр (0) + Пк (0). Операторная постановка. Закон баланса энергии показывает, что для любого момента времени t функции Uj (x, t) можно рассматривать как элементы гильбертова пространства L2j(; m3 (x)), определенные на длине ¡i скалярным произведением (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 и соответствующей нормой. Введем гильбертово пространство H, равное ортогональной сумме L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, вектор-функцию U = (uo, Ui,..., uN)т и оператор A, действующий в пространстве H согласно соотношению AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun). mj (x) dx \ j dx " операторы, определенные на множестве Б (А33) С Н функций, удовлетворяющих условиям (3) и (4). Исходная задача (1)-(5) вместе с начальными условиями запишется в виде Аи = f (*), и (0) = и0, 17(0) = и1, (7) где f (*) = (до (*) ,51 (*),..., Ям (¿))т. Лемма. 1. Если выполнены первые два условия (1), то оператор А в эволюционной задаче (7) - неограниченный, самосопряженный, положительно определенный в пространстве Н оператор (Аи,К)н = (и,АК)н, (Аи, и)я > с2 (и, и)я. 2. Оператор А порождает энергетическое пространство НА с нормой, равной удвоенному значению потенциальной энергии колебаний пакета стержней 3 \ ^ I з)2 = 2П > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) г?- (x) dx+ o O (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Из приведенных результатов следует, что энергетическая норма оператора A выражается формулой (8). Разрешимость эволюционной задачи. Сформулируем следующую теорему. Теорема 1. Пусть выполнены условия U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H), тогда задача (7) имеет единственное слабое решение U (t) на отрезке , определяемое по формуле U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 отсутствии внешнего возмущения f (£) выполняется закон сохранения энергии 1 II A 1/2UИ2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Собственные колебания пакета стержней. Примем, что на стержневую систему не действует поле внешних сил: f (t) = 0. В этом случае движения стержней будем называть свободными. Свободные движения стержней, зависящие от времени t по закону exp (iwt), назовем собственными колебаниями. Приняв в уравнении (7) U (ж, t) = U (ж) eiWÍ, получим спектральную задачу для оператора A: AU - AEU = 0, Л = ш2. (9) Свойства оператора A позволяют сформулировать теорему о спектре и свойствах собственных функций . Теорема 2. Спектральная задача (9) о собственных колебаниях пакета стержней имеет дискретный положительный спектр 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то и систему собственных функций {Uk (ж)}^=0, полную и ортогональную в пространствах H и HA, при этом выполнены следующие формулы ортогональности: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk= £/Ц^) d*+ K («feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i Исследование спектральной задачи в случае однородного пакета стержней. Представив функцию перемещений м- (ж,£) в виде м- (ж,£) = м- (ж) , после разделения переменных получим спектральные задачи для каждого стержня: ^Ои + Лм = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) которые запишем в матричной форме 4 £ + Ли = 0, А = -,-,-,...,- \ т0 т1 т2 т« и = (и0, и1, и2,..., и«)т. Решение и анализ полученных результатов. Обозначим функции перемещения для центрального стержня на участке как и01 и на участке как и02 (ж). При этом для функции и02 начало координат перенесем в точку с координатой /. Для каждого стержня представим решение уравнения (10) в виде Для нахождения неизвестных констант в (11) воспользуемся сформулированными выше граничными условиями. Из однородных граничных условий можно определить некоторые константы, а именно: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0. В итоге остается найти N + 3 констант: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Для этого решим N + 3 уравнений относительно N + 3 неизвестных. Запишем полученную систему в матричной форме: (A) {C} = {0} . Здесь {C} = {C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1}т - вектор неизвестных; (A) - характеристическая матрица, cos (Л1) EF0 Л sin (Л1) + Л sin (Л (Zo - 1)) Л cos (Л (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 y 00 00 0 000Y а = к соэ ^ ^А-Л^ ; в = -к со8((.40-01Л)1/2 ^ ; 7 = (А4"-1 л) 1/2 ап ((А"1л) 1/2 + к сов ((А"1л) 1/2 ; (~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; А-- : 3 = 0. Для нахождения нетривиального решения в качестве переменной примем константу С01 € М. Имеем два варианта: С01 = 0; С01 = 0. Пусть С01 = 0, тогда С03 = С04 = 0. В этом случае нетривиальное решение может быть получено, если 7 = 0 из (12) при выполнении дополнительного условия £ с-1 = 0, (13) которое может быть получено из третьего уравнения системы (12). В итоге получаем простое частотное уравнение ЕР (А"1 Л)1/2 вт ((А"1^1/2 П + зз у \ V зз K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , совпадающее с частотным уравнением для стержня упруго закрепленного на одном конце, который можно рассматривать как первую парциальную систему. В этом случае все возможные комбинации движений боковых стержней, удовлетворяющих условию (13), можно условно разделить на группы, соответствующие различным комбинациям фаз (в рассматриваемом случае фаза определяется знаком С.д). Если принять боковые стержни идентичными, то имеем два варианта: 1) Сд = 0, тогда число таких комбинаций п для различных N можно вычислить по формуле п = N 2, где - функция деления без остатка; 2) какая-либо (или какие-либо) из констант С- равны 0, тогда число возможных комбинаций возрастает и может быть определено по формуле £ [(N - m) div 2]. Пусть Coi = 0, тогда Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-в/т), где в и y - комплексы, входящие в (12). Из системы (12) также имеем: C03 = C01 cos (Л/); C04=C03 tg (Л (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (Л (/0 - /)), т.е. все константы выражены через C01. Частотное уравнение принимает вид EFo U-o1 Л tg A-1 Л) " (lo - l)) - K2 cos | í a!-,1 Л В качестве примера рассмотрим систему с четырьмя боковыми стержнями. Кроме описанного выше способа для этого примера можно записать частотное уравнение для всей системы, вычислив определитель матрицы А и приравняв его нулю. Приведем его вид Y4 (Л sin (Л (/o - /)) cos (Л/) EFoЛ+ Л cos (Л (/o - /)) (EFoЛ sin (Л/) + 4в)) - 4авт3Л cos (Л(/0 - /)) = 0. Графики трансцендентных частотных уравнений для рассмотренных выше случаев представлены на рис. 2. В качестве исходных данных были приняты следующие: EF = 2 109 Н; EF0 = 2,2 109 Н; k = 7 107 Н/м; m = 5900 кг/м; mo = 6000 кг/м; / = 23; /о = 33 м. Значения первых трех частот колебаний рассматриваемой схемы приведены ниже: n..................................... и, рад/с.............................. 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Рис. 2. Графики трансцендентных частотных уравнений для Coi = 0 (i) и Coi = 0 (2) Приведем формы колебаний, соответствующие полученным решениям (в общем случае формы колебаний не нормированы). Формы колебаний, соответствующие первой, второй, третьей, четвертой, 13 и 14 частотам, приведены на рис. 3. При первой частоте колебаний боковые стержни колеблются с одинаковой формой, но попарно в противофазе Рис.3. Формы колебаний боковых (1) и центральных (2) стержней, соответствующие первой V = 3,20 Гц (а), второй V = 5,02 Гц (б), третьей V = 10,11 Гц (в), четвертой V = 13,60 Гц (г), 13-й V = 45,90 Гц (д) и 14-й V = 50,88 Гц (е) частотам (рис. 3, а), при второй - центральный стержень совершает колебания, а боковые колеблются по одинаковой форме в фазе (рис. 3, б). Следует отметить, что первая и вторая частоты колебаний рассматриваемой стержневой системы соответствуют колебаниям системы, состоящей из твердых тел. При колебании системы с третьей собственной частотой первый раз появляются узлы (рис.3,в). Третья и последующие частоты (рис.3,г) соответствуют уже упругим колебаниям системы. С возрастанием частоты колебаний, связанной с уменьшением влияния упругих элементов, частоты и формы колебаний стремятся к парциальным (рис.3,д, е). Кривые функций, точки пересечения которых с осью абсцисс являются решениями трансцендентных уравнений, представлены на рис. 4. Согласно рисунку, собственные частоты колебаний системы расположены вблизи парциальных частот. Как было отмечено выше, при увеличении частоты сближение собственных частот с парциальными усиливается. В результате частоты, при которых колеблется вся система, условно разделяются на две группы: близкие к парциальным частотам бокового стержня и частоты, близкие к парциальным частотам центрального стержня. Выводы. Рассмотрена задача о продольных колебаниях пакета стержней. Описаны свойства поставленной краевой задачи и спектра ее собственных значений. Предложено решение спектральной задачи для произвольного числа однородных боковых стержней. Для численного примера найдены значения первых частот колебаний и построены соответствующие им формы. Также были выявлены некоторые характерные свойства построенных форм колебаний. Рис. 4. Кривые функций, точки пересечения которых с осью абсцисс являются решениями трансцендентных уравнений, для СоХ = 0 (1), Сох = 0 (2) совпадают с первой парциальной системой (боковой стержень, закрепленный на упругом элементе в точке х = I) и второй парциальной системы (5) (центральный стержень, закрепленный на четырех упругих элементах в точке А) ЛИТЕРАТУРА 1. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2003. 520 с. 2. Баллистические ракеты и ракеты-носители / О.М. Алифанов, А.Н. Андреев, В.Н. Гущин и др. М.: Дрофа, 2004. 511 с. 3. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1974. 396 с. 4. Parameter study on POGO stability of liquid rockets / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Vol. 48. Is. 3. P. 537-541. 5. Балакирев Ю.Г. Методы анализа продольных колебаний ракет-носителей с жидкостным двигателем // Космонавтика и ракетостроение. 1995. № 5. С. 50-58. 6. Балакирев Ю.Г. Особенности математической модели жидкостной ракеты пакетной компоновки как объекта управлении // Избранные проблемы прочности современного машиностроения. 2008. С. 43-55. 7. Докучаев Л.В. Совершенствование методов исследований динамики ракеты-носителя пакетной конструкции с учетом их симметрии // Космонавтика и ракетостроение. 2005. № 2. С. 112-121. 8. Пожалостин А.А. Разработка приближенных аналитических методов расчета собственных и вынужденных колебаний упругих оболочек с жидкостью: дис. ... д-ра техн. наук. М., 2005. 220 с. 9. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967. 464 с. 10. Копачевский И.Д. Операторные методы математической физики. Симферополь: ООО "Форма", 2008. 140 с. Kolesnikov K.S. Dinamika raket . Moscow, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 p. Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., eds. Ballisticheskie rakety i rakety-nositeli . Moscow, Drofa Publ., 2003. 511 p. Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov . Moscow, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 p. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Parameter study on POGO stability of liquid fuel rocket. J. Spacecraft and Rockets, 2011, vol. 48, iss. 3, pp. 537-541. Balakirev Yu.G. Methods of analysis of longitudinal vibrations of launch vehicles with liquid propellant engine. Kosm. i raketostr. , 1995, no. 5, pp. 50-58 (in Russ.). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob"ekta upravlenii . Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya" . Moscow, Fizmatlit Publ., 2008. 204 p. (cited pp. 4355). Dokuchaev L.V. Improvement of methods for studying the dynamics of clustered launch vehicle considering their symmetry. Kosm. i raketostr. , 2005, no. 2, pp. 112-121 (in Russ.). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. tekhn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye differentsial"nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh . Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 p. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki . Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 p. Статья поступила в редакцию 28.04.2014 Павлов Арсений Михайлович - студент кафедры "Космические аппараты и ракеты-носители" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специализируется в области ракетно-космической технологии. МГТУ им. Н.Э. Баумаш, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5. Pavlov A.M. - student of "Spacecrafts and Launch Vehicles" department of the Bauman Moscow State Technical University. Specialist in the field of rocket-and-space technology. Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation. Темнов Александр Николаевич - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Космические аппараты и ракеты-носители" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 20 научных работ в области механики жидкости и газа и ракетно-космической технологии. МГТУ им. Н.Э. Баумаш, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5. Temnov A.N. - Cand. Sci. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Spacecrafts and Launch Vehicles" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 20 publications in the field of fluid and gas mechanics and rocket-and-space technology. Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation. Свободные колебания
систем с распределённымипараметрами
Основная
особенность процесса свободных колебаний систем с бесконечным числом степеней
свободы выражается в бесконечности числа собственных частот и форм колебаний. С
этим связаны и особенности математического характера: вместо обыкновенных
дифференциальных уравнений, описывающих колебания систем с конечным числом
степеней свободы, здесь приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в
частных производных. Кроме начальных условий, определяющих начальные смещения и
скорости, необходимо учитывать и граничные условия, характеризующие закрепление
системы. При анализе
продольных колебаний прямолинейного стержня (рис.67,а) будем считать, что
поперечные сечения остаются плоскими и что частицы стержня не совершают
поперечных движений, а перемещаются только в продольном направлении. Пусть u
-
продольное перемещение текущего сечения стержня при колебаниях; это перемещение
зависит от расположения сечения (координаты x
) и от
времени t
. Таким образом, есть функция двух переменных; её определение и представляет
основную задачу. Перемещение бесконечно близкого сечения равно , следовательно, абсолютное удлинение бесконечно малого
элемента
равно (рис.67,б), а
относительное его удлинение . Соответственно
продольная сила в сечении с координатой х
может быть записана в виде где жёсткость стержня при
растяжении (сжатии). Сила N также является функцией двух аргументов –
координаты х
и времени t
. Рассмотрим
элемент стержня, расположенный между двумя бесконечно близкими сечениями
(рис.67,в). К левой грани элемента приложена сила N, а к правой – сила . Если обозначить через
плотность материала стержня, то масса
рассматриваемого элемента составляет
. Поэтому уравнение движения в проекции на ось х
Учитывая(173)ипринимая A
= const
, получим Следуя методу
Фурье, ищем частное решение дифференциального уравнения (175) в виде ,(177)
т.е.
предположим, что перемещение u
можно представить в виде
произведения двух функций, одна из которых зависит только от аргумента х
, а другая
только от аргумента t
. Тогда вместо определения
функции двух переменных u
(x
, t
) необходимо
определять две функции X(x
) и T(t
),
каждая из которых зависит только от одной переменной. Подставив (177) в (174), получим где
штрихами обозначена операция дифференцирования по x
, а точками – по t
. Перепишем это
уравнение таким образом:
Здесь левая
часть зависит только от x,а
правая – только от t
. Для тождественного выполнения этого равенства (при любых
x
и t
)
необходимо, чтобы каждая из его частей была равна постоянной, которую обозначим
через : ; .(178) Отсюда
следуют два уравнения: ; Первое
уравнение имеет решение: указывающее
на колебательный характер, причём из (180) видно, что неизвестная величина
имеет смысл частоты свободных
колебаний. Второе из
уравнений (179) имеет решение: определяющее
форму колебаний.
Частотное
уравнение, определяющее величину
, составляется путём использования граничных условий.
Это уравнение всегда трансцендентное и имеет бесконечное число корней. Таким
образом, число собственных частот бесконечно, причём каждому значению частоты соответствует своя
функция T n
(t
),
определяемая зависимостью (180), и своя функция Xn
(x
), определяемая зависимостью (181). Решение (177) является
лишь частным и не даёт полного описания движения. Полное решение получается
путём наложения всех частных решений: Функции X n
(x
) называются собственными функциями
задачи и описывают
собственные формы колебаний. Они не зависят от начальных условий и
удовлетворяют условию ортогональности, которое при А=const
имеет вид Рассмотрим
некоторые варианты граничных условий. Закреплённыйконец стержня
(рис.68,а). В концевом сечении перемещение u
должно быть равно нулю;
отсюда следует, что в этом сечении X=0(182)
Свободный конец стержня
(рис.68,б). В
концевом сечении продольная сила (183)
должна
тождественно равняться нулю, что возможно, если в концевом сечении X"=0. Упругозакреплённый
конец стержня
(рис.68,в). При
перемещении u
концевого стержня возникает
упругая реакция опоры еслиопора расположена на левом конце стержня
(рис.68,в),и если
опора расположена на правом конце стержня (рис.68,г).
Сосредоточенная масса на конце стержня.
Развиваемая
массой сила инерции: Так как, согласно
первому из уравнений (179),
, то сила инерции может быть записана в виде
. Получаем граничное условие если масса
находится на левом конце (рис.68,д),и если
масса связана с правым концом (рис.68,е).
Определим
собственные частоты консольного стержня (рис.68,a"). Согласно
(182) и (183), граничные условия X=0при х=0;
X"=0 при
х=
.
Подставляя
поочерёдно эти условия в решение (181), получим Условие С0 приводит к частотному уравнению: Корни этого
уравнения определяют собственные частоты:
Первая
(низшая) частота при n=1: Вторая
частота (при n=2): Определим собственные
частоты стержня с массой на конце (рис.68,е). Согласно
(182) и (184),имеем X=0 при
х=0;
Подставляя
эти условия в решение (181), получим: D=0; Следовательно,
частотное уравнение при учёте(176)
имеет вид Здесь
праваячасть представляет собой
отношение массы стержня к массе концевого груза. Для решения полученного
трансцендентного уравнения необходимо воспользоваться каким-либо приближённым
способом. При и
значения наиболее важного низшего корня
будут соответственно
0.32 и 0.65 . При малом
отношении решающее влияние
оказывает груз и хорошие результаты даёт приближённое решение Для стержней
переменного сечения, т.е. при Аconst
, из (173) и (174) получается
уравнение движения в виде Это
дифференциальное уравнение не поддаётся решению в замкнутом виде. Поэтому в
подобных случаях приходится прибегать к приближённым методам определения
собственных частот. Крутильные
колебания валас непрерывно
распределенной массой (рис.69,а) описываются уравнениями, которые по структуре
полностью совпадают с приведенными выше уравнениями продольных колебаний
стержней. Крутящий
моментМв сечении с абсциссой х
связан с углом поворота дифференциальной
зависимостью, аналогичной (173): где J p
-полярный момент инерции
поперечного сечения. В сечении,
расположенном на расстоянии dx
, крутящий момент равен (рис.69,б): Обозначая
через (где
- плотность материала вала)
интенсивность момента инерции массы вала относительно его оси (т.е. момент
инерции единицы длины), уравнение движения элементарного участка вала можно
записать так: или
подобно (174):
Подставляя сюда выражение (186), приJp
=const
получим, аналогично (175): Общее решение
уравнения (187), как и уравнения (175), имеет вид Собственные
частоты и собственные функции при этом определяются конкретными граничными
условиями. В основных
случаях закрепления концов аналогично случаю продольных колебаний получим а)
закрепленный конец (=0): Х=0; б) свободный
конец (М=0): Х"=0; в) упругозакрепленный
левый конец: СоХ=GJpX
"
(Со-коэффициент
жёсткости); г) упругозакрепленный
правый конец: -СоХ=GJpX
"; д
) диск на левом конце: е) диск на
правом конце: Если вал
закреплён на левом конце (х=0), а правый конец (х=
) свободен, то Х=0 при х=0 и Х"=0 при x=
; собственные частоты определяются аналогично (185): Если левый
конец закреплён, а на правом конце имеется диск, получим трансцендентное
уравнение: Если оба
конца вала закреплены, то граничные условия будут X=0 при х=0 и х=
. В этом случае из (188) получим т.е.
(n=1,2,…),
отсюда
находим собственные частоты:
Если левый
конец вала свободен, а на правом конце имеется диск, то X"=0 при х=0 ;Jo
X=GJpX
"при х=
. При помощи
(188) находим С=0; или
трансцендентное частотное уравнение:
Из курса сопротивления
материалов известны дифференциальные зависимости при изгибе балок: где
EJ - жёсткость при изгибе; y=y
(x
,
t
) - прогиб; M=M(x
, t
) - изгибающий момент; q
-
интенсивность распределённой нагрузки.
Объединяя
(189) и (190), получим В задаче о
свободных колебаниях нагрузкой для упругого скелета являются распределённые
силы инерции: где m
- интенсивность массы балки (масса единицы длины), и
уравнение (191) принимает вид В
частном случае постоянного поперечного сечения, когда EJ = const
,
m
= const
, имеем:
Для решения
уравнения (192) полагаем, как и выше, y
= X (x
)
×
T (t
).(193)
Подставляя (193)
в (192), приходим к уравнению: Для
тождественного выполнения этого равенства необходимо, чтобы каждая из частей
равенства была постоянной. Обозначая эту постоянную через , получим два уравнения: Первое
уравнение указывает на то, что движение носит колебательный характер с частотой
. Второе
уравнение определяет форму колебаний. Решение уравнения (195) содержит четыре
постоянных и имеет вид Удобно
использовать вариант записи общего решения, предложенный А.Н.Крыловым: представляют
собой функции А.Н.Крылова.
Обратим
внимание на то, что S=1, T=U=V=0 при x=0. Функции S,T,U,V связаны между собой
следующим образом: Поэтому
производные выражения (197) записываются в виде В задачах
рассматриваемого класса число собственных частот бесконечно велико;
каждой из них отвечает своя функция времени T n
и своя фундаментальная функция X n
. Общее решение
получится путём наложения частных решений вида (193) Для
определения собственных частот и формул необходимо рассмотреть граничные
условия. Для каждого
конца стержня можно указать два граничных условия.
Свободный конец стержня
(рис. 70,а).
Нулю равны поперечная сила Q=EJX"""T и изгибающий момент M=EJX""T. Поэтому
граничные условия имеют вид X""=0;
X"""=0 .(202)
Шарнирно-опёртый конец стержня
(рис.70,б). Нулю равны прогиб y=XT
и изгибающий
момент M=EJX""T. Следовательно, граничные условиятаковы: X=0 ;
X""=0 .(203)
Защемленный конец
(рис.70,в). Нулю равны
прогиб y=XT
и угол поворота . Граничные условия: X=0;
X"=0 . (204)
На конце стержня имеется точечный груз массы
(рис.70,г). Его
сила инерции В первом условии знак плюс принимается в случае, когда
точечныйгруз связан с левым концом
стержня, и знак минус, когда он связан с правым концом стержня. Второе условие
вытекает из отсутствия изгибающего момента.
Упруго-опертый конец стержня
(рис.70,д).
Здесь изгибающий момент равен нулю, а поперечная сила Q=EJX"""T равна реакции
опоры Граничные
условия: X""=0 ; (206)
(знак
минус принимается в случае, когда упругая опора является левой, и знак плюс,
когда она является правой).
Развёрнутая
запись граничных условий приводит к однородным уравнениям относительно
постоянных C 1 , C 2 , C 3 , C 4 . Чтобы эти
постоянные не равнялись нулю, должен равняться нулю определитель, составленный
из коэффициентов системы; это приводит к частотному уравнению. При этих
операциях выясняются соотношения между C 1 , C 2 , C 3 ,
C 4 , т.е. определяются собственные формы колебаний (с точностью до
постоянного множителя). Проследим
составление частотных уравнений на примерах. Для балки с
шарнирно-опёртыми концами согласно (203) имеем следующие граничные условия:
X=0; X""=0 при x=0 и x=
. При помощи(197)-(200)
получим из первых двух условий: C 1 =C 3 =0. Два оставшихся
условия можно записать в виде Чтобы C 2
и C 4 не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя: Таким образом,
частотное уравнение имеет вид Подставляя
выражения T и U, получим Так как , то окончательно частотное уравнение записывается так: .
(207)
Корни этого
уравнения: ,(n
=1,2,3,...).
Учитывая
(196), получим Перейдём к определению
собственных форм. Из записанных выше однородных уравнений вытекает следующее
соотношениемежду постоянными C 2
и C 4: Следовательно,
(197) приобретает вид Согласно
(207), имеем где - новая постоянная,
значение которой остаётся неопределённым, пока не введены в рассмотрение
начальные условия. Если
требуется определить движение, следующее после начального возмущения, то
необходимо указать для всех точек балки как начальные смещения, так и начальные
скорости: и использовать свойство
ортогональности собственных форм: Общее решение
(201) запишем так: Скорость
определяется выражением Подставляя в
правые части уравнений (211) и (212) , а в левые части - предполагаемые известными начальные
смещения и скорости, получим Умножая эти выражения
на и интегрируя по всей
длине, имеем Бесконечные
суммы в правых частях исчезли вследствие свойства ортогональности. Из (213)
следуют формулы для постоянных и Теперь эти
результаты нужно подставить в решение (211). Снова
подчеркнём, что выбор масштаба собственных форм несущественен. Если, например,
в выражении собственной формы (209) принять вместо величину в раз большую, то (214) дадут результаты в раз меньшие; после подстановки в решение (211) эти различия
компенсируют друг друга. Тем не менее часто пользуются нормированными
собственными функциями, выбирая их масштаб таким, чтобы знаменатели выражений
(214) равнялись единице, что упрощает выражения и . Рассмотрим
случай, когда колеблющаяся балка испытывает действие продольной силы N
, величина которой не
меняется в процессе колебаний. В этом случае уравнение статического изгиба
усложняется и приобретает вид (при условии, что сжимающая сила считается
положительной) Полагая и считая жёсткость
постоянной, получаем уравнение свободных колебаний Принимаем
по-прежнему частное решение в виде. Тогда уравнение (215) распадается на два
уравнения: Первое
уравнение выражает колебательный характер решения, второе определяет форму
колебаний, а также позволяет найти частоты. Перепишем его таким образом: (216)
где K
определяется формулой (196), а Решение
уравнения (216) имеет вид Рассмотрим
случай, когда оба конца стержня имеют шарнирные опоры. Условия на левом конце Приравнивая
нулю определитель, составленный из коэффициентов при величинах и , приходим к уравнению Корни этого
частотного уравнения: Следовательно,
собственная частота определится из уравнения Отсюда при
учёте (217) находим При растяжении
частота увеличивается,
при сжатии уменьшается. Когда
сжимающая сила N
приближается к критическому значению, корень стремится к нулю. Ранее
продольная сила считалась заданной и не зависящей от перемещений системы. В
некоторых практических задачах сопровождающая процесс поперечных колебаний
продольная сила возникает вследствие изгиба балки и носит характер реакции
опоры. Рассмотрим, например, балку на двух шарнирно-неподвижных опорах. При её
изгибе возникают горизонтальные реакции опор, вызывающие растяжение балки;
соответствующее горизонтальное усилие принято называть цепным усилием
. Если балка совершает поперечные колебания, то
цепное усилие будет изменяться во времени. Если в
мгновение t
прогибы
балки определяются функцией , то удлинение оси можно найти по формуле Соответствующее
цепное усилие найдём при помощи закона Гука Подставим
этот результат в (215) вместо продольной силы N
(с учётом знака) Полученное
нелинейное интегродифференциальное
уравнение
упрощается при помощи подстановки где безразмерная функция времени, максимальное значение которой
можно положить равным любому числу, например, единице; амплитуда колебаний. Подставляя (221) в (220), получим обыкновенное
дифференциальное уравнение
коэффициенты
которого имеют следующие значения:
Дифференциальное
уравнение (222) является нелинейным, следовательно, частота свободных колебаний
зависит от их амплитуды. Точное
решение для частоты поперечных
колебаний имеет вид где частота поперечных колебаний, вычисленная без учёта цепных
усилий; поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды
колебаний к радиусу инерции
поперечного сечения ; величина приводится в
справочной литературе. При
соизмеримости амплитуды и радиуса инерции поперечного сечения поправка к
частоте становится значительной. Если, например, амплитуда колебаний стержня
круглого сечения равна его диаметру, то , и частота почти в два раза больше, чем в случае свободного
смещения опор. Случай соответствует нулевому
значению радиуса инерции, когда изгибная жёсткость балки исчезающе
мала - струна. При этом формула для даёт неопределённость.
Раскрывая эту неопределённость, получим формулу для частоты колебаний струны Эта формула
относится к случаю, когда в положении равновесия натяжение равно нулю. Часто
задачу о колебаниях струны ставят в других предположениях: считают, что
перемещения малы, а растягивающая сила задана и остаётся неизменной в процессе
колебаний. При этом
формула для частоты имеет вид где N
- постоянная растягивающая
сила. Ранее
предполагалось, что материал стержней идеально упругий и трение отсутствует.
Рассмотрим влияние внутреннего трения, считая, что оно является вязким; тогда
связь напряжений с деформациями описывается соотношениями Пусть
стержень с распределёнными параметрами совершает свободные продольные
колебания. В этом случае продольная сила запишется в виде Из уравнения
движения элемента стержня было получено соотношение (174) Подставляя
сюда (224), приходим к основному дифференциальному уравнению которое отличается
от (175) вторым слагаемым, выражающим влияние сил вязкого трения. Следуя методу
Фурье, ищем решение уравнения (225) в виде где функция только координаты x
, а функция только времени t
. При этом
каждый член ряда должен удовлетворять граничным условиям задачи, а вся сумма -
также и начальным условиям. Подставляя(226)в(225)и требуя, чтобы равенство удовлетворялось для любого номера r
, получим где штрихи
обозначают дифференцирование по координате x
, а точки -
дифференцирование по времени t
. Разделив
(227) на произведение левая часть,
которого может зависеть только от координаты x
, а правая
- только от времени t
.
Для тождественного выполнения равенства (228) необходимо, чтобы обе части были
равны одной и той же постоянной, которую обозначим через . Из этого следуют уравнения
Уравнение
(229) не зависит от коэффициента вязкости K
и, в частности, остаётся таким же в случае идеально упругой
системы, когда . Поэтому числа полностью совпадают с
найденными ранее; однако, как будет показано ниже, величина даёт лишь приближённое
значение собственной частоты. Отметим, что собственные формы совершенно не
зависят от вязких свойств стержня, т.е. формы свободных затухающих колебаний
совпадают с формами свободных незатухающих колебаний. Теперь
перейдём к уравнению (230), описывающему процесс затухающих колебаний; его
решение имеет вид Выражение
(232) определяет темп затухания, а (233) - частоту колебаний. Таким
образом, полное решение уравнения задачи Постоянные и всегда можно найти по
заданным начальным условиям. Пусть начальные смещения и начальные скорости всех
сечений стержня заданы следующим образом: ; где и - известные функции. Тогда при , согласно (211) и (212), имеем умножая обе
части этих равенств на и интегрируя в
пределах всей длины стержня, получим Соответственно
условию ортогональности собственных форм все остальные слагаемые, входящие в
правые части этих равенств, обращаются в нуль. Теперь из равенств (236) легко
найти и для любого номера r
. Рассматривая
(232) и (234), заметим, что чем выше номер формы колебаний , тем быстрее её затухание. Кроме того, слагаемые, входящие
в(234), описывают затухающие колебания,
если есть действительное
число. Из (233) видно, что это имеет место лишь для нескольких начальных
значений r
, пока
выполняется неравенство При
достаточно больших значенияхr
неравенство (237)
нарушается и величина становится мнимой. При
этом соответствующие члены общего решения (234) уже не будут описывать
затухающие колебания, но будут представлять апериодическое затухающее движение.
Другими словами, колебания, в обычном смысле слова, выражает только некоторая
конечная часть суммы (234). Все эти
качественные выводы относятся не только к случаю продольных колебаний, но и к
случаям крутильных и изгибных колебаний. В тех
случаях, когда распределённая масса и сечение стержня переменны по его длине,
следует вместо уравнения продольных колебаний (175) исходить из уравнения Уравнение
крутильных колебаний (187) должно быть заменено уравнением а
уравнение поперечных колебаний (192) – уравнением
Уравнения
(238)-(240) при помощи однотипных подстановок ;;можно привести к
обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции Предлагается частотный метод решения задачи о продольных колебаниях стержней ступенчато-переменного сечения с учетом или без учета рассеяния энергии при соударении с жестким препятствием. Уравнение продольных колебаний стержня преобразуется по Лапласу при наличии ненулевых начальных условий. Решается краевая задача, заключающаяся в нахождении преобразованных по Лапласу краевых продольных сил как функций краевых перемещений. Затем составляется система уравнений равновесия узлов, решая которую, строятся амплитудо-фазо-частотные характеристики (АФЧХ) для интересующих сечений стержня. Осуществляя обратное преобразование Лапласа, строится переходный процесс. В качестве тестового примера рассматривается стержень постоянного сечения конечной длины. Дается сопоставление с известным волновым решением. Предлагаемая методика динамического расчета стрежня при соударении с жестким препятствием допускает обобщения на произвольную стержневую систему при наличии неограниченного количества упруго-присоединенных масс, при произвольном силовом воздействии, приложенном на концах и по длине стержня. Частотный метод продольные колебания стержня 1. Бидерман, В.Л. Прикладная теория механических колебаний / В.Л. Бидерман. – М.: Высшая школа, 1972. – 416 с. 2. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплекс¬ного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1973. – 736 с. 3. Санкин, Ю.Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределенными параметрами / Ю.Н. Санкин. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977. – 312 с. 4. Санкин, Ю.Н. Нестационарные колебания стержневых систем при соударении с препятствием / Ю.Н. Санкин, Н.А. Юганова; под общ. ред. Ю.Н. Санкина. – Ульяновск: УлГТУ, 2010. – 174 с. 5. Sankin, Y.N. Longitudinal vibrations of elastic rods of step-variable cross-section colliding with rigid obstacle \ Yu. N. Sankin and N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, no 3, pp. 427–433, 2001. Рассмотрим частотный метод решения задачи о продольных колебаниях стержней ступенчато-переменного сечения с учетом или без учета рассеяния энергии при соударении с жестким препятствием, который будем сравнивать с известным волновым решением и решением в виде ряда по формам колебаний (14) . Дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня с учетом сил внутреннего сопротивления имеет вид : Зададим следующие граничные и начальные условия: Преобразуем уравнение (1) и граничные условия (2) по Лапласу при заданных начальных условиях (2). Тогда уравнение (2) и граничные условия (2) запишутся следующим образом: где - преобразованные по Лапласу перемещения точек стержня; р - параметр преобразования Лапласа. Уравнение (3) без учета рассеяния энергии (при = 0) примет вид: Для полученного неоднородного дифференциального уравнения решается краевая задача, заключающаяся в нахождении преобразованных по Лапласу краевых продольных сил, как функций краевых перемещений. Для этого рассмотрим однородное уравнение продольных колебаний стержня с учетом рассеяния энергии Обозначая и переходя к новой переменной , получим вместо (5) Если, где - частотный параметр, то Решение однородного уравнения (6) имеет вид: Постоянные интегрирования с1 и с2 находим из начальных условий: u = u0 ; N = N0, Т.е. Данному решению соответствует следующая матрица переноса: Подставив в формулы метода перемещений полученные выражения для элементов матрицы переноса, получим : Индексы n и k указывают соответственно начало и конец участка стержня. А геометрические и физические константы с индексами nk и kn относятся к конкретному участку стержня. Разбивая стержень на элементы, пользуясь формулами (8), составим уравнения динамического равновесия узлов. Эти уравнения представляют собой систему уравнений для неизвестных узловых перемещений. Поскольку соответствующие коэффициенты получаются точным интегрированием, длина участков стержня не ограничена. Решая полученную систему уравнений при , строим амплитудо-фазо-частотные характеристики для интересующих нас сечений стержня. Эти АФЧХ можно рассматривать как графический образ одностороннего преобразования Фурье, который совпадает с преобразованием Лапласа при импульсных воздействиях. Поскольку все особые точки соответствующих выражений лежат левее мнимой оси, обратное преобразование можно осуществлять, полагая , т.е. используя построенные АФЧХ. Задача по построению АФЧХ, где в качестве силового воздействия фигурирует поле начальных скоростей, умноженное на плотность стержня, является вспомогательной. Обычно АФЧХ строятся от воздействия возмущающих сил, затем численным интегрированием или каким-либо иным способом осуществляется обратное преобразование Лапласа. В качестве простого примера рассмотрим прямолинейный стержень длины l, который продольно соударяется с жестким препятствием со скоростью V0 (рис. 1). Определим смещение точек стержня после удара. Будем считать, что после удара контакт между препятствием и стержнем сохраняется, т.е. отскок стержня не происходит. Если связь является неудерживающей, то задача может рассматриваться как кусочно-линейная. Критерием перехода к другому варианту решения является смена знака скорости в точке контакта. В монографии Лаврентьева М.А., Шабата Б.В. дано волновое решение уравнения (4): и найден его оригинал где - единичная ступенчатая функция. Другой подход к решению этой задачи может быть осуществлен частотным методом, описанным в . Применительно к данной задаче будем иметь: ; Найдем оригинал (11) Решим эту же задачу частотным способом. Из уравнения равновесия 1-го узла: получим формулу для перемещения конца стержня . Теперь, если тестовый стержень постоянного сечения разбить на два произвольных участка длины l1и l2 (см. рис. 1), то условия равновесия узлов будут таковы: В результате решения системы (13) получаем графики АФЧХ для перемещений в 1 - ом и 2 - ом сечениях (U1и U2 соответственно). Так, изображение для краевого перемещения в замкнутом виде, с учетом рассеяния энергии, в случае (12) и (13) совпадает и имеет вид: Проверим совпадение результатов на конце стержня. На рис. 2 представлены графики решения (10) при x = l0,1 и в результате решения системы (13). Они полностью совпадают. Для получения переходного процесса может быть использовано дискретное преобразование Фурье. Результат можно получить, осуществив численное интегрирование при t=0… по формуле На АФЧХ (см. рис. 2) существенно себя проявляет только один видимый виток. Поэтому следует взять один член ряда (15). Из графиков на рисунке 3 видно, насколько точное решение (9) и решение по формам колебаний (11) совпадает с предлагаемым частотным решением. Погрешность не превышает 18 %. Полученное расхождение объясняется тем, что решения (9) и (11) не учитывают рассеяние энергии в материале стержня. Рис. 3. Переходный процесс для конца стержня; 1, 2, 3 - графики, построенные соответственно по формулам (9), (11), (15). В качестве более сложного примера рассмотрим задачу о продольных колебаниях ступенчатого стержня (рис. 4) с грузом на конце, соударяющегося с жестким препятствием со скоростью V0 , причем пусть масса груза равна массе прилегающего участка стержня:. Рис. 4. Расчетная схема продольных колебаний ступенчатого стержня с грузом на конце Введем характерные сечения 1,2,3 стержня, в которых будем вычислять перемещения. Составим систему разрешающих уравнений: В результате решения системы (16) получим графики АФЧХ (рис. 5) для перемещений во втором и третьем сечениях (U2 () и U3() соответственно). Вычисления производились при следующих значениях постоянных: l = 2 м; E = 2.1×1011 Па; F = 0.06 м2; = 7850 кг/м3; V = 10 м/с. На полученных АФЧХ существенно себя проявляют лишь два видимых витка. Поэтому при построении переходного процесса в выбранных сечениях возьмем два члена ряда (16). Для этого предварительно необходимо определить Рис. 5. АФЧХ перемещений во втором и третьем сечении ступенчатого стержня (см. рис. 4) Аналогично по формуле (15) строится переходный процесс. Вывод: разработан метод расчета продольных колебаний стержней при соударении с препятствием. Рецензенты:
Лебедев А.М., д.т.н., доцент, профессор Ульяновского высшего авиационного училища (института), г. Ульяновск. Антонец И.В., д.т.н., профессор Ульяновского государственного технического университета, г. Ульяновск. Под стержнем будем понимать цилиндр П=0х[О, /], когда I»
diamD. Здесь D
- область на координатной плоскости Ох 2 х 3 (рис. 62). Материал стержня однороден и изотропен, а ось Ох, проходит через центр тяжести сечения D.
Поле внешних массовых сил f(r, I)
=/(Х|, /)е, где е, - орт оси Ох,. Пусть внешние поверхностные силы на боковой поверхности цилиндра равны нулю, т.е. Ра
= 0 на dD
х
Тогда из (4.8) следует при 1=0
равенства Собственные формы Х к
(j) удобно нормировать, используя для этого норму пространства /^(), которому принадлежит функция v(s, I),
так как в каждый момент времени существует и ограничен функционал кинетической энергии
где S
- площадь области D.
Имеем X*(s) = Jj-
sin^-л в пространстве скоростей Я 0 = ji)(s, /): v(s,
t)e
В результате получим ортонормированный базис |л г *(^)| , где Ь к „
- символ Кронекера: Функции X k *(s), к=
1,2,суть нормальные формы собственных колебаний, а ю*, к=
1, 2, ..., - собственные частоты колебаний системы с бесконечным числом степеней свободы. В заключение заметим, что функция u(s, /) принадлежит конфигурационному пространству системы Я, = {v(s, t): v(s, t
) е е ^(), и(0,1) = о(1
, /) = 0}, где И^"ОО, / ]) - пространство Соболева функций, суммируемых вместе с квадратами первых производных на отрезке . Пространство Я, есть область определения функционала потенциальной энергии упругих деформаций и содержит обобщенные решения рассматриваемой задачи.6.1.
Продольные колебания стержней
,(173)
,
.(179)
,(180)
,(181)
.
, если .
, где С о - жёсткость опоры. Учитывая (183)
для продольной силы, получим граничное условие
.
,
, (184)
(n=1,2,…)
(n=1,2,…).(185)
.
при х=
.
.
.
.
.6.2.
Крутильные колебания валов
,
.
, (187)
,
(188)
(Jo-момент инерции
диска относительно оси стержня);
.
(n=1,2,…).
.
,
.
6.3.Изгибные
колебания балок
6.3.1.Основное
уравнение
.(191)
.
.(192)
.
.(195)
(198)
(200)
.(201)6.3.2.
Граничные условия
может быть при помощи
уравнения (194) записана так: ; она должна быть равна поперечной силеQ=EJX"""T , поэтому граничные условия
принимают вид
; X""=0 .(205)
(C o -коэффициент
жёсткости опоры).6.3.3.
Частотное уравнение и собственные формы
.
.
.(208)
.
,(209)6.3.4.
Определение движения по начальным условиям
(210)
.
.(211)
.(212)
.
(213)
(214)
6.3.5.
Влияние постоянной продольной силы
.
.(215)
дают . Удовлетворяя те же условия на правом конце, получим
.
.(219)6.3.6.
Влияние цепных усилий
.
.
.(220)
,(221)
,(222)
;.
.6.4. Влияние
вязкого трения
;
.(223)
,(225)
,(226)
,(227)
, приходим к равенству
,(228)
(229)
.(230)
.(233)
.(234)
,(235)
(236)6.5.
Колебания стержней переменного сечения
.(238)
,(239)
.(240)
. (2)
; (3)
,
. (4)
(5)
(6)
.
;
. (7)
;
(8)
;
, (9)
; 
;
; ;
;
. (10)
(12)
(13)
. (14)
. (15)
(16)
Библиографическая ссылка
Юганова Н.А. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ ПРИ СОУДАРЕНИИ С ЖЕСТКИМ ПРЕПЯТСТВИЕМ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (дата обращения: 15.01.2020).
Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
